认识初等函数

初等函数的概念

初等函数并不是一种单一的函数，而是一个函数 “家族”。它的定义包含两个严谨的层级：

第一，基本初等函数。数学界公认的 6 类 “原子级” 函数：

微积分是研究函数的一种工具，它的核心方法是 “局部线性化”。为什么局部的线性化能够重构出全局的非线性化呢？我想这其中最古那件的一个概念是无穷小的阶数，更高阶的无穷小保证了重整值与最终真实值的严格相等。这要保证了这一点，整个 “分割—线性化—重构” 的过程就不会导致信息的丢失。这就是整个微积分最核心的逻辑支点。

I.纯粹知识和经验性知识的区别

我们的一切知识都从经验开始，这是没有任何怀疑的；因为，如果不是通过对象激动我们的感官，一则由它们自己引起表象，一则使我们的知性活动运作起来，对这些表象加以比较，把它们连结或分开，这样把感性印象的原始素材加工成称之为经验的对象知识，那么知识能力又该由什么来唤起活动呢？所以按照时间，我们没有任何知识是先行于经验的，一切知识都是从经验开始的。

Owlias：我们的一切知识都从经验开始，这是没有任何怀疑的。为什么？因为知识能力不是永动机，它需要被唤起。如果不是对象在物理上“激动”了我们的感官，我们的意识里就不会产生任何表象。更重要的是，如果感官不把那些杂乱、原始的感性印象素材递交给知性，知性的那套精密齿轮——比较、连结、分开——就根本没有运转的燃料。所谓的 “经验”，不是天上掉下来的，而是知性对感官素材进行 “加工” 后的产物。所以，在时间的刻度线上，没有任何知识能抢跑在经验之前。经验，就是人类理性睁开眼睛看世界的第一道曙光。

第二版序

对属于理性的工作的那些知识所作的探讨是否在一门科学的可靠道路上进行，这可以马上从它的后果中作出评判。如果这门科学在做了大量的筹备和准备工作之后，一旦要达到目的，就陷入僵局，或者，经常为了达到目的而不得不重新回头去另选一条路；又比如，如果那些各不相同的合作者不能像遵守这个共同的目标所应当的那样协调一致：那么我们总是可以确信，这样一种研究还远远没有走上一门科学的可靠的道路，而只是在来回摸索。而尽可能地找到这条道路，即便有些包含在事先未经深思而认可了的目的中的事情不得不作为徒劳的而加以放弃，这就已经是对理性作出的贡献了。

第一版序

人类理性在其知识的某个门类里有一种特殊的命运，就是：它为一些它无法摆脱的问题所困扰；因为这些问题是由理性自身的本性向自己提出来的，但它又不能回答它们；因为这些问题超越了人类理性的一切能力。