从实数的小数及连分数表示说起
实数的进一步划分
翻开历史的画卷，古希腊的 毕达哥拉斯学派 曾坚定地相信 “万物皆数”，而他们所理解的 “数” 主要就是整数和整数比——即有理数（或称比例数 ratio number）。对他们而言，宇宙的和谐都可以通过这些比例来表达，这种思想是如此优美，以至于当毕氏学派门徒希帕索斯发现正方形的对角线与其边长不可公度（即 $\sqrt{2}$ 不是有理数）时，传说他被惊恐的同伴扔进了大海。这个“数学史上的第一次危机”，实际上为我们推开了实数世界更广阔的大门。如今我们知道，实数的版图远比毕达哥拉斯时代想象的要大的多：
$$ \mathbb{R} \begin{cases} \text{有理数 } (\mathbb{Q}) - { \frac{p}{q} 形式的数，即无限循环小数（若有限则补0）} \\[0.5em] \text{无理数 } (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) - { 非\frac{p}{q} 形式的数，无限不循环小数} \end{cases} $$从另一个角度来看，实数又可以分成:
$$ \mathbb{R} \begin{cases} \text{代数数 } (\mathbb{A}) - { 可以表示成整系数多项式根的那些数 } \\[0.5em] \text{超越数 } (\mathbb{R} \setminus \mathbb{A}) - 不能表示成整系数多项式的根的数 \end{cases} $$本文采用宏观视角，从小数和连分数两个角度，来观察实数 $\mathbb{R}$ 到底有着怎样的宏观结构。
从小数的角度看实数
为了使本文逻辑完整，在此给出实数的第一版定义，实数即所有标准约定下的十进制小数构成的集合，包括 { 循环小数 } $\cup$ { 非循环小数 }。所谓标准约定是指，对于有有限形式（终止形式）的有理数，其末位都填充0（而不是末位减1再填充999…），这就保证了小数表示的唯一性。当然，你可以使用其他进制来表示实数或小数，或者也可以使用其它方式定义实数（如戴德金分割或柯西序列），不过这都与我当前的讨论关系不大。
为何有理数都是循环小数
为了观察循环是如何产生的，我以 $\frac{5}{7}$ 为例进行演示。
观察重点： 当余数再次出现 $\color{red}5$ 时，接下来的除法步骤将完全重复之前的过程。这就是循环节的由来。
长除法的本质是带余除法，可以用带余除法来代替长除法，等价地写出：
对于更一般的 $\frac{a}{b}$：
- 初始化： $\phantom{0}\phantom{0} a \phantom{0}\div b = c_0 \dots a_1$，其中 $0 \le a_1 < b$，此时 $\frac{a}{b} = c_0.\square$
- 第一步： $10a_1 \div b = c_1 \dots a_2$，其中 $0 \le a_2 < b$，此时 $\frac{a}{b} = c_0.c_1 \square$
- 第二步： $10a_2 \div b = c_2 \dots a_3$，其中 $0 \le a_3 < b$，此时 $\frac{a}{b} = c_0.c_1c_2 \square$
- 第三步： $10a_3 \div b = c_3 \dots a_4$，其中 $0 \le a_4 < b$
- 第四步： $10a_4 \div b = c_4 \dots a_5$，其中 $0 \le a_5 < b$
- 第五步： $10a_5 \div b = c_5 \dots a_6$，其中 $0 \le a_6 < b$
- 依次类推，最终可以得到: $$\frac{a}{b} = c_0.c_1c_2c_3c_4c_5\dots$$
从上述示例中可以看到，当某一步骤的余数和之前步骤的余数相同的时候，循环就开始出现了，换言之，要证明有理数都是循环小数，只需要证明在序列 ${a_i}$ 中必然存在相等的一对数即可。
如何保证余数序列${a_i}$ 一定会出现重复？
这需要请出数学中一个既直观又强大的工具——抽屉原理（又名鸽巢原理）：
抽屉原理：若将 k个小球放进 n个抽屉里（k > n），则至少有一个抽屉里会有两个或更多个小球。
由于 ${a_i}$ 中 $0 \le a_i < b$，且 $a_i$ 为整数，所以由抽屉原理可得出：必定 $\exists \ a_{i1} = a_{i2},$ 一旦出现相等的情况，循环即出现。由此即证：有理数必定就是循环小数。
循环小数就一定是有理数吗
现在任意给出一个循环小数：
$a . \color{blue}{a_1 a_2 \dots a_m} \color{green}{b_1 b_2 \dots b_n} \color{red}{b_1 b_2 \dots b_n} \dots$
$= a . \color{blue}{a_1 a_2 \dots a_m} + 0. \underbrace{00 \dots 0}_{m \text{个} 0} \color{green}{b_1 b_2 \dots b_n} \color{red}{b_1 b_2 \dots b_n} \dots$
$= \frac{\overline{a a_1 a_2 \dots a_m}}{10^m} + \frac{1}{10^m} \times 0 . \color{green}{b_1 b_2 \dots b_n} \color{red}{b_1 b_2 \dots b_n} \dots$
两个有理数的和也是有理数。要想证明这个整体是有理数，只需证明：$0 . \color{green}{b_1 b_2 \dots b_n}$ 这个纯循环小数也是有理数即可！
这构成一个无穷的等比数列，且是收敛的，设为 $A$，即：$A = \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \frac{1}{10^{3n}} + \dots$
设：$10^n A = 1 + \frac{1}{10^n} + \frac{1}{10^{2n}} + \dots$$= 1 + A$
解得：$A = \frac{1}{10^n - 1}$，所以有：
$0 . \color{green}{b_1 b_2 \dots b_n} \color{red}{b_1 b_2 \dots b_n} \dots$
$= \overline{b_1 b_2 \dots b_n} \times \frac{1}{10^n - 1}$
$= \frac{\overline{b_1 b_2 \dots b_n}}{10^n - 1}$
由此，我们即可将这个纯循环小数写成两个整数相除的形式，所以任意一个循环小数也必定是一个有理数！
所以综上得出结论：有理数（比例数） $\Leftrightarrow$ 循环小数。 并且本文还给出了将普通循环小数转换为分数的公式：
${a . a_1 a_2 \dots a_m} {\phantom{}\dot{b_1}\dot{b_2}{\dots}\dot{b_n}}$ $= \frac{\overline{a a_1 a_2 \dots a_m}}{10^m} + \frac{1}{10^m} \cdot \frac{\overline{b_1 b_2 \dots b_n}}{10^n - 1}$
e.g.
$1.{000} \dots = \frac{1}{10^0} + \frac{1}{10^0} \cdot \frac{0}{10^1 - 1} = 1 + 0 = 1$
$1.001 = \frac{1001}{10^3} + \frac{1}{10^3} \cdot \frac{00}{10^2 - 1} = 1.001 + 0 = 1.001$
$1.\dot{1}\dot{2}\dot{3}\dot{4}\dot{5}\dot{6}\dot{7}\dot{8}\dot{9} = \frac{1}{10^0} + \frac{1}{10^0} \cdot \frac{123456789}{10^9 - 1}$
$0.\dot{7}\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5} = \frac{0}{10^0} + \frac{1}{10^0} \cdot \frac{714285}{10^6 - 1} = \frac{714285}{999999} = \frac{5 \times \cancel{142857}}{7 \times \cancel{142857}} = \frac{5}{7}$
有理数就是 无限循环小数 （整数或有限小数后面补 0）
无理数就是 $R \setminus Q$，即 无限不循环小数 （如 $e, \pi, \sqrt{2} \dots$）
每个实数，要么是有理数，要么是无理数，有理数和无理数构成完备实数集。
为什么$\sqrt{2}$ 不是有理数
经典反证法证明
假设： $\sqrt{2}$ 是有理数，即 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 是互质的整数。
推导出矛盾：
两边平方得 $2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$。
因为 $p^2$ 是偶数，所以 $p$ 必为偶数。
设 $p = 2k$，代入得：$(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies 2k^2 = q^2$。
因为 $q^2$ 是偶数，所以 $q$ 也必为偶数。
$p$ 和 $q$ 都是偶数，说明它们有公约数 $2$，这与 “$p, q$ 互质” 的假设矛盾。
结论：假设不成立，所以$\sqrt{2}$ 是无理数。
使用辗转相除法寻找最大公约数（公度）
什么是辗转相除法？
辗转相除法的精髓只有一句话：两个数的最大公约数，等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。设两个数为 $a$ 和 $b$（假设 $a > b$），它们的最大公约数记为 $(a, b)$。根据带余除法：$\color{red}a = bq + r$ （其中 $q$ 是商，$r$ 是余数）。辗转相除法告诉我们：$\color{red}(a, b) = (b, r)$。因为 $r$ 一定比 $b$ 小。通过不断地用“余数”代替“大数”，数字会变得越来越小，但它们之间的最大公约数始终保持不变，直到余数为 $0$ 为止。
为什么 (a,b) = (b,r) ？
假设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数：由于 $r = a - bq$，既然 $d$ 能整除 $a$ 和 $b$，那它一定也能整除它们的差，所以 $d$ 也是 $r$ 的约数。这意味着 $d$ 是 $b$ 和 $r$ 的公约数。
反过来，假设 $k$ 是 $b$ 和 $r$ 的公约数：由于 $a = bq + r$，既然 $k$ 能整除 $b$ 和 $r$，那它一定也能整除它们的和，所以 $k$ 也是 $a$ 的约数。这意味着 $k$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数。
所以 $a, b$ 的公约数集合，与 $b, r$ 的公约数集合完全一样。既然集合一样，那最大的那个数（最大公约数）自然也一样。
用一个具体的实例来看看这个寻找公度数的神奇过程：
$442 \div 195 = 2 \dots \dots 52$ （现在求 $195$ 和 $52$ 的最大公约数 ~ 用195量442，量了2次，余52）
$195 \div 52 = 3 \dots \dots 39$ （就等于 $52$ 和 $39$ 的最大公约数 ~ 用52量195，量了3次，余39）
$52 \div 39 = 1 \dots \dots 13$ （就等于 $39$ 和 $13$ 的最大公约数 ~ 用39量52，量了1次，余13）
$39 \div {\color{red}{13}} = 3 \dots \dots \mathbf{0}$ （余数为 $0$ 则结束。最大公约数就是 $13$！~ 用13量39，量了3次，余0）
从可公度的角度来看有理数
就像上面的例子，无论数字多大，辗转相除法一定会在有限步内停止（余数最终变为 $0$）。这说明它们是“可公度”的，存在一个共同的微小单位（地砖）可以量尽两者。所以可以说：
有理数 $\Leftrightarrow$ $\color{red}\frac{p}{q}$ 形式的数（p和q为互质整数） $\Leftrightarrow$ p和q可被公度 $\Leftrightarrow$ p和q的辗转相除是有限过程
希帕索斯是怎么洞察到$\sqrt{2}$ 不是有理数的？
我们知道古希腊还没有形成系统的代数，他们的数学基本可以认为是几何学，希帕索斯对无理数的发现也是建立在几何学上的。
两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）。寻找公度量的方法就是欧几里得的辗转相除法求最大公约数。第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。可是希帕索斯发现了例外。
假设正方形ABCD的边长为1，正方形的对角线BD，能否用边长BC度量呢？也就是说 (BD, BC) 存不存在呢？把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC。接下来应该在BC和DE间辗转相除，BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。这个过程无穷无尽，于是希帕索斯得出 正方形的对角线与边长不可公度（即斜边长度无法表示为边长的整数比） 的结论。希帕索斯通过几何的 无限递降法（Antiphairesis）揭示了有理数体系的局限性，为无理数的发现奠定了基础，这种方法后来发展成现代的连分数理论。
从连分数的角度看实数
在此实数的第二版定义，简单说，实数即 所有连分数的集合，包括{有限连分数} 以及 { 无限循环连分数 } $\cup$ { 无限不循环连分数 }。
$\sqrt{2}$ 的连分数形式
通过递归构造 $\sqrt{2}$ 的连分数形式
设 $x = \sqrt{2}$，平方得 $2 = x^2$，即 $1 = x^2 - 1$，即 $(x - 1)(x + 1) = 1$。
所以 $x = 1 + \frac{1}{1+x}$ 是一个递归式，所以$\sqrt{2}$ 的连分数形式为：
$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{1 + 1 + \frac{1}{1 + 1 + \frac{1}{1 + 1 + \cdots}}}$
$\phantom{000}=1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}$
所以 $\sqrt{2} = [1; \overline 2]$ , 它的连分数表示是一个无限循环的形式。
其他常见数的连分数
$\sqrt{3}$：它是个二次无理代数数，呈现出交替循环的特征。
黄金分割数： $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$。它是个二次无理代数数，因为所有的分母都是最小的整数 $1$，这意味着它的收敛速度最慢。数学家常称黄金分割比为“最无理的数”（最难用有理数去逼近的数
自然常数 $e$：是超越数，自然常数 $e$ 的连分数具有一种惊人且极其整齐的规律（并不是周期性的）。它是通过微积分性质推导出来的，项数遵循 $1, 2k, 1$ 的循环模式。
圆周率：$\pi$ 是超越数，与$e$不同，它的连分数没有任何已知的循环规律，这直观地展示了 $\pi$ 的混乱与不可预测性。由于连分数中出现了较大的数字 $292$，这意味着如果我们只取到它之前的项，就能得到 $\pi$ 极其精确的有理数近似值（如著名的祖冲之密率 $355/113$）。
一般实数的连分数表示
实数连分数（Continued Fraction）的一般形式为：
$a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \cdots}}}$
简记为 $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$，其中 $a_0 \in \mathbb{Z}$，$a_i \in \mathbb{N+}$ $(i \geq 1)$。
注意 $a_0$可以是任何整数，而 $a_i必须是正整数！$
有理数示例：$\frac{45}{16} = 2 + \frac{13}{16} = 2 + \frac{1}{\frac{16}{13}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{3}{13}} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{3}}} = [2; 1, 4, 3]$
无理数示例：$\sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2} - 1) = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = [1; 2, 2, 2, \dots]$
有关连分数的基本性质：1.有理数的连分数展开是有限、且唯一的。2.无理数的连分数展开是无限、且唯一的。3.实数 α 是二次无理数，当且仅当它的连分数展开是最终周期的（拉格朗日定理）。4.超越数以及次数 ≥ 3 的无理代数数，其连分数展开不可能是最终周期的。
1. 有理数的连分数展开是有限、且唯一的
有理数的连分数展开是有限的：设有理数 $x = \frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是整数且 $q \neq 0$。通过整数除法，我们可以将其分解为整数部分和余数部分，并继续对余数部分进行倒数处理。由于有理数的除法过程是有限的，所以在有限步内会结束，并且没有余数进一步展开。因此，有理数的连分数展开是有限的。
有理数的连分数展开是唯一的：假设 $x$ 有两个不同的连分数展开：
$x = [a_0; a_1, a_2, \dots] = [b_0; b_1, b_2, \dots]$
可以通过递推法证明两个展开是相等的。首先，整数部分 $a_0$ 和 $b_0$ 必须相等，因为它们是 $x$ 的整数部分。如果 $a_0 \neq b_0$，则表示它们表示的数不同，矛盾。因此，$a_0 = b_0$，继续对余数部分展开，发现所有后续的整数部分也相同。因此，连分数展开是唯一的。（注：一般需要约定最后一项 $a_n > 1$，这样的表示就是唯一的）
2. 无理数的连分数展开是无限的，并且是唯一的
无理数的连分数展开是无限的：假设 $x$ 是一个无理数，连分数展开为：$x = [a_0; a_1, a_2, \dots]$。在每一步展开过程中，我们提取整数部分并对余数取倒数。由于无理数不能用有限的整数比表示，所以展开将无限继续。由于每一步的余数始终不为零，连分数的展开必然是无限的。
无理数的连分数展开是唯一的：假设 $x$ 有两个不同的连分数展开：
$x = [a_0; a_1, a_2, \dots] = [b_0; b_1, b_2, \dots]$
由于整数部分 $a_0$ 和 $b_0$ 是 $x$ 的唯一整数部分，必然 $a_0 = b_0$。接着对余数部分继续展开，每一步的分数部分都是唯一的，因此两个连分数展开的每一项也必然相同。因此，连分数展开是唯一的。
3. 结论3和4
这两个结论都是对 拉格朗日定理 的不同的表述，这个定理揭示出 二次无理数就等价于无限的周期连分数，从连分数的角度观察实数，实数所呈现出的数的结构特征：
1 | 有理数（有限连分数） |
这也从侧面说明了实数中 周期性的稀缺。从实数小数表示法的角度去看，周期性只存在于有理数；从实数连分数表示法的角度去看，周期性只存在于二次无理数。而无论是有理数，还是二次无理数，它们都是测度为0的集合。
对于这个定理的证明，受篇幅限制，我将放到下篇文章。
小数和连分数的比较
对实数的表示
说明：
1）0.999…与1在实数体系中是同一个数。 这不是一个“接近”或“无限逼近”的问题，而是严格相等，等式0.999… = 1 在标准数学中成立。0.999… 不是“永远加9但永远不到1”的东西，而是无限级数的和。它代表一个完整的实数，等于其极限值。在实数轴上，0.999… 和1占据同一个点，没有“无限接近但不等”的空间。
2）大多数实数有唯一表示。如 π、e、1/3、5/7等。但 终结小数（terminating decimals） 有两种等价表示，这类数的标准形式以有限位结束，后面隐含无限0（如1 = 1.000…，0.5 = 0.500…，0.25 = 0.25000…），它也可以表示成前一位减1，后面无限9的形式（如1 = 0.999…，0.5 = 0.4999…，0.25 = 0.24999…）。为了避免歧义，数学中通常约定使用不以无限9结尾的形式（规范表示）。在没有标准约定的前提下，小数与实数并不是一一映射的，这在在其他所有有进制的代数系统中都有同样的问题。
3）有限连分数（即有理数），存在且仅存在两种表示方法。其原理是最后一个整数项 $a_n$ 可以被拆解。例如，数字 $2$ 可以表示为 $[2]$，也可以表示为 $[1; 1]$（即 $1 + \frac{1}{1}$）。数字 $1.5$ 可以表示为 $[1; 2]$，也可以表示为 $[1; 1, 1]$（即 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}$）。它是由于“停止”的方式不同造成的。为了消除这种歧义，数学上通常约定最后一项必须大于 1（即 $a_n > 1$），从而强制实现表示的唯一性。
4）非标准约定下，小数表示的歧义和连分数表示的歧义、 它们在“现象”上很相似（都表现为有限表示的非唯一性），但它们的本质是不同的。小数表示的歧义本质上是区间套边界的重合，当你将 $[0, 1]$ 区间十等分时，每一个分点（如 $0.5$）既是左边区间的终点，也是右边区间的起点，$0.499…$ 是从左侧无限逼近这个边界点的极限，而 $0.500…$ 是直接定义在边界点上，这种歧义是 人为进位制（Base） 带来的副作用。连分数表示的歧义（如 $[2] = [1; 1]$）本质上是除法（欧几里得算法）停止规则的冗余，连分数对有理数的表示是一种 路径描述，$[2]$ 相当于说：“直接走 2 步”，$[1; 1]$ 相当于说：“走 1 步，然后再走 1 步”。这与小数表示的歧义性之间存在着根本性的差异，从更底层来说，连分数表示法没有歧义。
其他方面的比较
- 进制和路径：小数系统基于特定的基数（如十进制），它的人为痕迹很重。连分数系统是
基数无关的，它直接利用实数自身的欧几里得算法（辗转相除法）生成，不依赖任何进位制，反映了数与数之间的几何比例关系（如希帕索斯的正方形嵌套）。 - 运算差异：在小数中做加法很简单，但在连分数中直接进行加减乘除极其困难（需要用到复杂的 Gosper 算法）
- 揭示代数本质方面：$\sqrt{2}$ 和 $\pi$ 的小数展开看起来都是乱码，你无法一眼看出谁更“复杂”；而使用连分数，二次无理数都呈现周期性，即使像 $e$ 这样的超越数，其连分数展开也存在明显的规律性，这是小数无法做到的。从这个角度说，小数像是实数的“外壳”，方便我们进行数字交换；连分数则是实数的“基因”，揭示了它作为一个代数对象的内在对称性。
- 最优逼近性：渐近分数 $\frac{p_n}{q_n}$ 是在给定分母大小下，对实数最精确的有理数逼近。
最后，对这种 连分数的最佳逼近性质（Best Approximation Property） 给出证明。
首先给出最佳逼近的定义：设 $\alpha$ 是一个实数，其渐近分数为 $\frac{p_n}{q_n}$。我们称 $\frac{p}{q}$ 是 $\alpha$ 的最佳逼近，如果对于任何有理数 $\frac{a}{b}$，只要 $1 \le b \le q$ 且 $\frac{a}{b} \neq \frac{p}{q}$，就有：$|q\alpha - p| < |b\alpha - a|$
注意：这里使用的是“强最佳逼近”定义（距离的加权绝对值），它比单纯的 $|\alpha - \frac{p}{q}| < |\alpha - \frac{a}{b}|$ 更强。
假设存在一个 “挑战者” 有理数 $\frac{a}{b}$，它的分母 $1 \le b < q_n$。我们要证明这个挑战者在“距离”上无法击败 $\frac{p_n}{q_n}$。我们利用渐近分数的分子 $p_n, p_{n-1}$ 和分母 $q_n, q_{n-1}$ 作为基底，建立方程组：
$$\begin{cases} x p_n + y p_{n-1} = a \\ x q_n + y q_{n-1} = b \end{cases}$$根据渐近分数性质，$p_n q_{n-1} - p_{n-1} q_n = (-1)^{n+1}$。这说明该线性方程组的系数矩阵行列式为 $\pm 1$。
根据克莱姆法则（Cramer’s Rule）：
由于 $a, b, p, q$ 全是整数，所以 $x$ 和 $y$ 必然也是整数。并且：
① $y$ 不能为 0：若 $y=0$，则从方程二得 $b = x q_n$。因为 $1 \le b < q_n$ 且 $x$ 是整数，这在逻辑上不可能。所以 y ≠ 0。
② $x$ 不能为 0：如果 $x=0$，则 $b = y q_{n-1}$。此时 $\frac{a}{b} = \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$。虽然这也是一个渐近分数，但根据递推性质，它的误差 $|q_{n-1}\alpha - p_{n-1}|$ 显然大于 $|q_n\alpha - p_n|$。
③ $x$ 和 $y$必然异号：考虑 $x q_n + y q_{n-1} = b$。如果 $x > 0$ 且 $y > 0$，则 $b$ 至少是 $q_n + q_{n-1}$，这与假设 $b < q_n$ 矛盾。如果 $x < 0$ 且 $y < 0$，则 $b$ 是负数，矛盾。结论：$x$ 与 $y$ 必须一正一负。
现在我们计算挑战者的总误差 $|b\alpha - a|$：
$$b\alpha - a = (x q_n + y q_{n-1})\alpha - (x p_n + y p_{n-1}) = x(q_n \alpha - p_n) + y(q_{n-1} \alpha - p_{n-1})$$
我们知道 $\frac{p_n}{q_n}$ 和 $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ 分别位于 $\alpha$ 的两侧。这意味着 $(q_n \alpha - p_n)$ 和 $(q_{n-1} \alpha - p_{n-1})$ 符号相反。既然 $x$ 和 $y$ 也符号相反，那么乘积 $x(q_n \alpha - p_n)$ 和 $y(q_{n-1} \alpha - p_{n-1})$ 就会符号相同！对于两个同号的数，加法的绝对值等于绝对值的加法：
$$|b\alpha - a| = |x| \cdot |q_n \alpha - p_n| + |y| \cdot |q_{n-1} \alpha - p_{n-1}|$$
由于 $x, y$ 都是非零整数，所以 $|x| \ge 1, |y| \ge 1$。
$$|b\alpha - a| \ge |q_n \alpha - p_n| + |q_{n-1} \alpha - p_{n-1}|$$
$$|b\alpha - a| > |q_n \alpha - p_n| \phantom{000}$$
$$Q.E.D$$